发新帖

什么是凯莉公式

美股爱好者 16天前 199

什么是凯利公式?

1#最佳收益率仓位
很多人对投资收益率与仓位的关系有一个模糊的概念:大概仓位越高,收益率越高;因此很多人在股市中喜欢满仓,甚至融资。到底收益率与仓位有什么关系呢?先看下面一个例子。
例如有这样一种机会,有一半概率赚一倍,有一半概率亏50%,这种机会是否值得投资呢?
计算一下期望E=0.5*2+0.5*0.5=1.25,大于1,应该是值得投资的。
先把模型简化一下,对这种机会投资两次,一次赚100%,一次亏50%。
假设本金有100,每次拿出10%的资金投入,第一次赚了10。第二次再拿10%的资金投入,亏损5.5,最终104.5,收益率4.5%;
如果每次拿出20%的资金投入,那么收益率为14%。
似乎看来,仓位越高收益越大。为了提高资金的利用率,全部投入。这样计算一下,第一次赚了100,第二次亏了100,收益率为0%。怎么收益率没有提高,反而大幅降低了呢?
我们将仓位和计算收益率的关系画成曲线,如下图所示。这条曲线与直觉是有差异的。显然不是仓位越大收益越高。在超过一个临界点之后,仓位的升高造成了收益的降低。甚至在仓位超过100%之后(未考虑融资成本),收益率竟然是负的!

图1

而这个最大值怎么得到呢?之前有一个叫凯利的人已经研究过了,只要给出胜率和赔率,就能计算出这个最大值:
f=p/a-q/b
p:赢的概率 q:输的概率(1-p) a:输的损失率 b:赢的收益率
把上文的情形带入计算,得到f=0.5。对这种机会,始终投入50%的仓位将获得最大的收益!如果仓位低于该值,收益率会降低,如果仓位高于该值,收益率也会降低,甚至可能出现亏损!也就是说即使是一个赚钱的买卖,仓位控制不当还是会赔钱
上文就是凯利公式最直观的解释。如果想看完整的介绍和推导过程,可以参考wiki[1]
有篇文章也讲得很细:《凯利公式详细推导》[2]
鲁晨光在《股市幸存者如是说》[3] 中提出自己独立发明了该公式。
2#黄金准则
通过凯利公式可以推导出如下两条黄金准则:
1) 对于期望≤0的品种,无论如何配置仓位都不能取得正收益;
所以赌博、彩票等期望为负的品种没有参与价值。
对于反驳说某某买彩票中大奖的人,需要明白实力与运气的区别。运气是无法通过学习提高的。Michael Mauboussin在《实力、运气与成功》[4]中有详细讨论。也可以读读巴菲特1984年在哥伦比亚大学的著名演讲《格雷厄姆-多德都市的超级投资者们》[5]。
在股市中,无数人用烂了的技术指标(KJD/MACD)的期望应该接近于0;
对于参与热点炒作来说更是飞蛾扑火。参考文章《纪念一个不再更新的指数》[6].
关于“猜大小赌局”流传着一个赌徒必胜方法:押100猜大,赢了继续押100猜大,输了赌注翻倍后继续押大,只要赢一次,就会把所有输掉的钱赢回;只要赢了,重新押100猜大。
自己先想想哪里有漏洞,再看专家解答:《赌徒「必胜方法」 对不对?》[7]
对于参与的投资品种或策略,必须确保期望收益率为正,否则长期必输!
2) 仓位对于收益率具有重要意义
即使投资品种的期望收益率为正,但如果仓位不合适,资产的期望收益率仍可能为负的!
我们知道,现金不产生任何收益,但是在上面的例子中,为什么把一部分的资金以现金的方式拿在手中,反而能够促使资金总额实现增长?这表面上,似乎是现金导致了资金的增长。是不是有点费解?以投资股票为例,因为现金和股票的比例f是一个固定的比例,如果股票价格升高,则总资金中投在股票上的金额所占的比例也升高,这时为了保持f固定不变,就需要卖出一部分股票变成现金;如果股价价格下降,则总资金中投在股票上的金额所占的比例也下降,为了保持f固定不变,就拿出一部分现金用于买入股票。所以,这里的赌注和现金就好象两个水池,比例f就好像它们之间的一个自动化的水泵,赌注上的资金多了,水泵就自动把资金往现金这个池子里面送;现金上的资金多了,水泵就自动把资金往赌注这个池子里面送。这样送来送去,在不做任何预测的情况下,却自动实现了“低买高卖”的效果。这正是对“重操作、不预测”的一个极好的注解。
因此对于股票投资,不要认为50%仓位就是保守策略,牺牲了收益率。实际上仓位过高收益率反而降低。
对于可能归零的品种,不管这个概率有多小,最有策略是永不满仓。
融资买入单一品种,再加上有强制平仓等等限制,有一定的概率爆仓,这种策略波动率极高(获得超高收益的概率增加了,巨幅亏损的概率也增加了),长期下来收益率最终会归零。
3#波动性
对于上述例子中的机会,仓位0.2和0.8,每次投资的期望收益率都是3.9%。那么这两种仓位配置有什么区别呢?
聪明的人马上就会想到,当然选择0.2仓位,因为可以多出60%仓位买货币基金也能提高收益啊。这当然是一方面。下面我们将会从波动性的角度来研究。上述的例子太过简单,只模拟了两次投资情形。下面我们模拟100次投资的情形,如果初始资金为1,仓位0.2,经过100次之后资金规模有多大呢?理论计算应该为47倍。通过软件模拟收益率曲线如图2所示,这次运气比较好,收益为83倍。
图2
虽然输赢的概率都是50%,但实际上投100次输赢的频率并不是严格的50次,因此结果也是不确定的。我们假设有50个人都按照上述0.2仓位进行投资,由于大家的运气不同,最终的投资收益也不一样。如果把大家的收益率曲线都画出来,将得到一簇曲线:
图3
可以看出大家的运气有很大的不同。运气差的收益只有七倍,运气好的收益有两千多倍。
如果50个人按照0.8的仓位进行投资呢?结果如图4所示。虽然期望收益率是一样的,但有人收益千万倍,有人却亏损了99.9%!
可能有人通过这种策略赚了1万倍,参考图4还是有几个人能做到的。然后他们会坚信自己投资策略的正确性,并四处宣扬这种策略。正如全美猜硬币大赛胜出的那几个人一样。然而其它人按照这种策略进行实践的时候,效果却不理想,大部分人收益平平,还有少数人巨亏。
图4
可以看出,随着仓位的增大,收益率是先增大后减小,而结果的随机性一直在增大。随机性越大,运气就显得越重要。
波动率大小与什么有关呢?简单分析就可以知道,由赢时的期望收益与输时的期望收益比值有关。对于图3,该比值为1.2/0.9=1.33,即对于100次投资机会,两个人仅仅有一次运气不同,最终收益会差别33%。对于图4,该比值为1.8/0.6=3,一次坏运气,资产就缩水2/3.
我们把波动性看作风险之一。过高的波动性会带来结果的不可控,并且引申出其它风险。关于风险会在4.3节介绍。对于图4的投资策略,结果的离散性非常大,期望收益率显得微不足道,运气显得更加重要,结果难以预先把握。这种策略更接近于赌博,而非投资。当仓位为100%的时候,收益率曲线就完全与抛硬币猜大小相同了,这时就完全变成了赌博。
虽然上面的例子是50%的仓位对应的期望收益率最高(为6.1%),但此时的波动率是非常大的,超出了很多人的承受能力。大多数人能容忍的波动性是非常有限的,因此合适的仓位比最佳收益率仓位要低得多。
对于投资指数基金,全仓etf还没有动态平衡策略(一半etf,一半现金)收益高。指数波动率越高,动态平衡策略的收益越高。
4#现实问题
让我们回到现实的投资上来。在现实世界里,概率和赔率都很难确定,如何计算最佳仓位呢?
虽然对概率和赔率的准确值难以确定,但会有自己评估的一个范围。对于标的研究的越透彻,我们对概率和赔率评估可以越准确。
一种评估自己的方法就是看看自己的历史交易记录,每只标的的实际情况与当初自己的评估(一定是当时的记录,而非回忆)进行比较。如果有几十或者上百个标的的记录分析,就可以对自己的评估和现实情况进行分析。对概率和赔率的判断是偏保守还是激进,过去评估的准确性有多高,一致性如何,以及如何调整当前的评估方法。
随着仓位的提高,收益率存在最大值,但波动率却逐渐增加。因此对于实际的仓位配置应偏保守为宜,这样即使评估出现偏差,往往是期望收益率的下降。而如果仓位比较激进,出现偏差会导致结果的很大不确定性,期望收益率甚至为负。
单一个股是有归零风险的,到底仓位多少合适因人而异。Graham说过,对于普通人来说,过于集中是赌博,而对于Warren来说不存在这个问题。我的观点基本一致,投资高手当然可以集中一些,但对于普通人来说,个股的确定性太低了,必须充分分散。设想一个极端,即使你对股票一窍不通,只要足够分散(购买指数ETF),就会获得平均收益,甚至能排到中等偏上的位置。市场中的专业投资者非常多,普通人想在个股研究上超越他们及其困难。退而求其次,放弃暴利的幻想,充分分散,通过资产配置和情绪管理,才是合适的选择。
5#多种资产配置
之前探讨的都是单一资产情形,类似股市里只有一只股票,来研究这只股票和现金的比例关系。实际情况是市场里有几千只股票,而且还有债券市场等。
凯里公式可以推导出同时有多个投资机会时的资产配置策略。但推到过程复杂,需要的参数太多。基本结论是如果有多个彼此独立的投资机会,那么每个机会的最优仓位比没有其它机会时低(可以将其它机会看做机会成本),而总仓位会比单个机会的最优仓位高,最终收益率也会比单个机会高。
多种资产配置的核心是要找到相关性较低甚至负相关的投资品种,那么通过资产配置,就可以在不降低收益的同时,降低资产的波动率,显著提高夏普比率。David Swensen管理的耶鲁大学基金会就体现了这一点。由于大学基金每年都有固定的资金支出,因此一旦出现基金净值的向下波动,此时支出的资金就将波动性兑现成永久性损失。他还给普通个人投资者写了一本书《不落俗套的成功》[8],指出资产配置是投资者收益的主要来源。核心的资产类别包括股票、国债和房地产。多元化要求每种资产类别至少占5%~10%,并且不能高于25%~30%,这样才能使多元化真正起作用。
蛋卷安睡全天候[9]也通过大类资产配置以非常低的波动性获得可观的收益率,其资产包括股票、债券、黄金、油气等美股ETF。
仅对于股票类资产来说,分散持有5~10个是非常有必要的。需要注意的是不同股票之间的波动的相关性是比较强的,即使分散持有上百只股票(如ETF),也无法完全避免整体价格的大幅波动。


最新回复 (0)
美股闪电开户送25$,手续费低至1.99$>>
返回
发新帖
美股爱好者
主题数
6
帖子数
0
注册排名
15